例如,两组数在列A和列B(参见下图)具有相同的平均值。如果这些数据代表反应炉A和反应炉B中晶圆的方阻,可以很容易得出结论,即反应炉A具有控制更严格的工艺,因为其数据分布更加集中。这个事实可以通过绘图表示出来(参见下图)。这种图示称为“直方图”(histogram),可以直观地显示出数据分布,而这是简单平均值计算无法揭示的。平均值计算和直方图都是统计方法的实际应用。直方图通是决定一个工艺是否受控的第一步。

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这两种方法来自于一种称为高斯分布的数学分布,是用著名数学家高斯的名字命名的。它的起源很有意思,高斯试图协调不同天文学家报告的不同恒星的位置。他的方法是对所有的观察都做出必要的修正,并考虑到观测所处的一年中的不同时间,以及在地球上不同的位置。他期望当做出所有的修正后,所有对某一特定恒星位置的计算都应该一致。除此之外,正常的推理也要求一颗恒星在某一时间只能占据一个位置,而且我们应该可以定出那个位置。

 

然而,最后的数据并没有证实他的假设。在所有修正都做出后,每颗恒星仍然具有多个位置。幸运的是,高斯并没有放弃这个项目,他继续工作并由此建立了统计学和分布概率领域的基础。如果厌烦数学的读者能坚持一下,会发现概率的概念并不那么深奥。高斯分析数据的方法是将同一恒星的不同位置的计算值画下来。他计算了中心点(均值)并以该点为圆心画出一个圆,将离中心点最远的位置点包括进这个圆内,进而推断恒星的真正位置以100%的概率(即概率为1)落在该圆圈内。高斯还推断在较小的圆圈内找到恒星的概率要小于1。事实上,圆圈越小,恒星落在其内的概率就越小。

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工艺生产数据也像例子给出的分布。这个数学分布就是著名的高斯分布。一个很好的例子是草坪中草叶的高度。如果所有的草叶高度都得到测量并画在直方图上,其分布会是熟悉的钟形曲线,又称为“正态曲线”(normal curve)(参见下图)。从概率的角度考虑,任何草叶具有与均值(中心值)接近的概率都较大,而任何草叶其高度非常矮或非常高的概率都较小。同样的数学情况还可以产生包括人的身高分布、智商分布,以及(多数情况)半导体工艺参数分布,如方块电阻等。

 

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